蓝眼睛岛问题
蓝眼睛岛问题设定如下
有一个岛，岛上有一个部落，由1000个居民组成。这个部落有一个禁忌：他们不能知道自己的眼睛的颜色，甚至不能相互谈论这件事情，如果一个部落成员知道了自己的眼睛的颜色，按照部落的宗教禁忌，此人就要在第二天中午当着所有人的面在部落广场上自杀，部落成员都是绝对虔诚的，他们都会遵从这个禁忌。这个部落的人都具有良好的视力，他们可以看见其他所有人的眼睛的颜色，亦即他们都知道其他人的眼睛的颜色。这个部落的人不使用镜子，也不从水中观看自己的眼睛，总之，他们无法由外界知道自己的眼睛的颜色。
这个部落的人都具有高度的逻辑推理能力同时都是绝对虔诚的。他们都知道部落的其他成员具有高度的逻辑推理能力、都知道其他成员也都是绝对虔诚的、都知道除自己外的其他人的眼睛的颜色
岛上的居民的眼睛有两种颜色，棕色和蓝色，其中有900个人为棕色眼睛，另外100个为蓝色眼睛。但是每一个居民都并不知道这一点，因为他不知道自己的眼睛的颜色。蓝色眼睛的人能看到岛上有900个人为棕色眼睛和其他99个人为蓝色眼睛。棕色眼睛的人可以看到岛上100个人是蓝色眼睛和其他899个人是棕色眼睛
有一天，一个游客到这个岛上访问。游客的眼睛为蓝色的。一天晚上，为了向岛上居民致谢，游客面对所有居民发表了一个演讲。游客不知道岛上关于眼睛颜色的禁忌，在演讲中提到：“在这里能看到和我一样蓝色眼睛的人，是多么不寻常的一件事啊。
请思考如下几个问题
你能达到的层次越高，说明你的思维越有深度。如果你完全理解了所有以下这十个问题，那么祝贺你，你的思维非常清晰，而且有创造性，希望你为人类做出更大的贡献。如果你卡在了某个层次，那么请仔细想想，自己缺乏的是什么，是什么阻止了自己做出深入的思考
- 游客的这句话会不会对部落产生后果，如果有，那么会产生什么后果？
- 棕眼人会不会自杀？
- 如果没有游客，岛民们会不会自杀？
- 为什么我们要关心“游客有没有带来新信息”这个问题？
- 游客到底有没有带来新信息？
- 为什么这个n阶的知识是一个新信息？
- 这个新信息是如何发挥作用的？
- 在逻辑学上，如何描述游客发言的效果？
- 如何解答蓝眼睛岛问题的各种变体，例如游客在第二天有什么办法可以减少伤亡？
- 在现实生活中，哪些现象可以用这些道理来理解？
请先仔细思考，然后再看下面的解答
问题一：游客的这句话会不会对部落产生后果，如果有，那么会产生什么后果？
回答是：游客说话之后$n$天，所有$n$个蓝眼人一起自杀
如何回答这个问题？最快速而且严格的方法是，用数学归纳法来证明下面这个定理：如果岛上有$n$个蓝眼人，那么在游客发言的n天后，所有这$n$个蓝眼人一起自杀。
数学归纳法是高中的数学知识，具体如下
如果一个与自然数n有关的命题$f(n)$满足以下两个条件，那么这个命题就对于所有的自然数都成立。这两个条件是：
- 对于$n = 1$的情况，$f(1)$成立
- 对于任何一个自然数k，假如$f(k)$成立，就可以推出$f(k+ 1)$也成立
显然，根据这两个条件，从$f(1)$成立就可以推出$f(2)$成立，从$f(2)$成立就可以推出$f(3)$成立，如此等等。无限递推下去，结果就是对所有的自然数都成立。
现在我们用数学归纳法证明蓝眼睛岛问题的上述定理：如果岛上有$n$个蓝眼人，那么在游客发言的$n$天后，所有这$n$个蓝眼人一起自杀。
对于$n= 1$的情况，也就是说岛上只有一个蓝眼人，他在听到游客说“岛上有蓝眼人”之后，四处一望没看到蓝眼，立刻推出游客说的蓝眼人就是他。于是，他会在游客发言之后一天自杀
如果对于$n= k$的情况，这个命题是成立的，现在我们来考虑$n = k + 1$的情况。基于$n= k$情况下的命题，这$k + 1$个蓝眼人中的每一个，都会做这样的推理：我看到了$k$个蓝眼人，假如他们就是全部的蓝眼人，那么过$k$天之后，他们就会一起自杀。而假如他们没有在$k$天之后一起自杀，就说明蓝眼人不止$k$个，而唯一可能的其他蓝眼人就是我自己。于是他等待$k$天，然后看到没有人自杀。由此得出结论，自己是蓝眼人。每一个蓝眼人都做出了这个推理，都知道了自己是蓝眼。因此，$k + 1$天之后，所有这$k + 1$个蓝眼人一起自杀。也就是说，从这个命题在$n = k$时成立的假设，我们推出了它在$n = k + 1$时也成立
这两点就满足了数学归纳法的条件。因此，这个命题对于任意的蓝眼人数都成立，我们证明了，它是一条定理。就原题目而论，答案就是在100天后，所有这100个蓝眼人都自杀
问题二：棕眼人会不会自杀？
回答是：不会，因为他们不知道岛上眼睛颜色只有两种
看一下岛民做的推理，就可以发现，他们对自己的眼睛颜色只是在两种可能性中选择：蓝色，或者不是蓝色。如果一个人确认自己的眼睛不是蓝色，那么仍然可能是棕色，可能是红色，可能是黑色等等，因此他还是不知道自己眼睛的颜色，所以不会自杀。
在这个题目中，岛民们一开始是禁止谈论眼睛颜色的，因此他们不知道岛上的眼睛颜色只有两种。游客能看到岛民的眼睛颜色只有两种，但并没有告诉他们这一点。因此，那些非蓝眼的岛民没有任何线索知道自己的具体颜色，在蓝眼人自杀之后，他们不会自杀。
问题三：如果没有游客，岛民们会不会自杀？
回答是：不会
简而言之，如果你明白了之前数学归纳法的证明过程，就可以发现，第一个条件在没有游客的时候不成立。 因为岛上只有一个蓝眼人的情况中，他向外望去，看到999个棕眼人，仅此而已。没有一个外在的信息源告诉他“岛上有蓝眼人”，因此他无法推出任何结论。
由此可见，游客的发言在这道题里是必不可少的，它提供了一个推理的起点
问题四：为什么我们要关心“游客有没有带来新信息”这个问题？
回答是：只有新的信息才能造成新的结果，这是一个常识，但蓝眼睛岛问题似乎推翻了这个常识，因为一眼看不出游客带来了什么新信息。因此我们希望搞清楚，错误的是这个常识，还是“游客没有带来新信息”这个印象。
只有新的信息才能造成新的结果，对于逻辑推理来说，这不但是一个常识，而且是一个真理
问题五：游客到底有没有带来新信息？
回答是：确实有！
请注意，这里是蓝眼睛岛问题真正的困难所在，难度比第一个层次的数学归纳法推理高得多。只有直接面对智力的挑战，你才能翻越这座山峰。如果你自行脑补，自动忽略了之前的某些要点，按照在你看来最容易的方式去理解，那么你必然会在无数种可能的错误之中打转，永远也搞不清这个问题的精妙之处。
游客带来的新信息，是一个$n$阶的知识。如果把$n$个蓝眼人称为$A_1$、$A_2$、$A_3$……一直到$A_n$，那么游客给$A_{n-1}$带来的新信息就是下面这个命题：
$A_1$知道，$A_2$知道，$A_3$知道，……，$A_{n-1}$知道，$A_n$知道，“岛上有蓝眼人”。
这个命题虽然很长，但它确实是一个命题。下面我们简化一下，我们把“岛上有蓝眼人”这个命题记为$P$。“$A_n$知道$P$“是一个一阶的知识，我们把这个命题记为$K_1$。“$A_{n-1}$知道$K_1$”是一个二阶的知识，我们把这个命题记为$K_2$。如此等等。最后，游客带来的新信息“$A_1$知道$K_{n-1}$”是一个$n$阶的知识，我们把这个命题记为$K_n$。
澳大利亚华裔数学家陶哲轩对蓝眼睛岛问题的标准回答是，参见维基百科的“Common knowledge (强共识)”词条
这个词条告诉我们，如果一件事是所有人都知的.那么这件事称为Mutual knowledge (弱共识)。而如果一件事不仅是所有人都知道，而且所有人都知道所有人都知道，所有人都知道所有人都知道所有人都知道，……如此等等，以至于无穷，那么这件事称为common knowledge。
我个人因此可以得出结论是，所有广播出去的内容都可以称之为common knowledge。所以我就在想，如果刘慈欣的三体如果能把它融入到猜疑链和黑暗森林理论中，可能会更为震撼
问题六：为什么这个n阶的知识是一个新信息？
回答是：在游客发言之前，岛民们通过互相观察，最多只能知道$n - 1$阶的知识，不能知道$n$阶的知识
例如对于$K_1$，即“$A_n$知道$P$”，我们说过了，$P$是“岛上有蓝眼人”这个命题，$A_n$可以通过观察其他$n- 1$个蓝眼人中的任何一个来推出$P$。他只需要扣除自己就行，这个知识的来源有$n- 1$个人。对于$K_2$，即“$A_{n-1}$知道$K_1$”，$A_{n-1}$就需要扣除自己和$A_n$，这个知识的来源只剩下$n - 2$个人。以此类推，对于$K_{n-1}$，即“$A_2$知道$K_{n-2}$”，$A_2$就需要扣除从自己到$A_n$的所有人，即扣除$n - 1$个人。这个知识的来源只剩下了一个人，就是$A_1$。
那么对于$K_n$呢？所有的$n$个人都被扣除了，都不能作为这个知识的来源。但一个知识至少要有一个来源，因此$K_n$根本就不是个知识，这是个假命题。由此可见，通过互相观察，是无法得到$K_n$的，最多只能得到$K_{n-1}$。
那么，在游客发言之后，为什么就能得到$K_n$了？因为这时游客成了一个公开的信息来源，每个岛民都可以从他这里知道$P$，不再需要通过互相观察推来推去了。而且每个岛民都知道，其他人都从游客那里知道了$P$。因此，岛民们不但是一下子知道了$K_n$
问题七：这个新信息是如何发挥作用的？
回答是：这个新信息立刻使岛民们认识到，他们有可能通过等待和观察，来推出自己的眼睛颜色。用物理学的语言说，他们可以做一个判决性的实验了。这个判决性实验的做法，就是等待和观察
问题八：在逻辑学上，如何描述游客发言的效果？
回答是：游客通过公布一个岛民早已知道的信息，把它从弱共识提升到了强共识。这个操作产生的新信息并不是公布的信息本身，而是一个n阶的知识。
问题九：如何解答蓝眼睛岛问题的各种变体，例如游客在第二天有什么办法可以减少伤亡？
回答是：如果游客发言之后已经过了m天，那么游客就需要指出m个人是蓝眼，或者带走m个蓝眼人，才能阻止蓝眼人全体自杀。
问题十：在现实生活中，哪些现象可以用这些道理来理解？
回答是：最为典型的例子是安徒生的童话故事《皇帝的新装》